exo C Ducoin
Conditions d’achèvement
TLI-longi
Une fusée s'éloigne de la Terre avec une vitesse \(\vec{v}=v\vec{u}_x\) dans le référentiel terrestre \(\mathcal{R}\). On note \(\mathcal{R}^\prime\) le référentiel de la fusée. Les axes \(Ox\) et \(O^\prime x^\prime\) coïncident. Le temps a été fixé de telle sorte qu'à \(t=0\), instant initial terrestre, la fusée était à une distance \(L\) (mesurée dans \(\mathcal{R}\)) de la Terre. On note cet évènement \(E_0\). On fixe l'origine des temps de \(\mathcal{R}^\prime\) de telle sorte que \(t^\prime=0\) pour \(E_0\).
On oublie dans cet exercice les axes \(Oy\), \(Oz\), \(O^\prime y^\prime\) et \(O^\prime z^\prime\).
L'évènement \(E_0\) a pour coordonnées dans \(\mathcal{R}\) : \((t=0,x=L)\). Quelle est à votre avis la position de la fusée dans le référentiel \(\mathcal{R}^\prime\) ?
Dans \(\mathcal{R}^\prime\), la fusée est toujours à la position \(x^\prime=0\). On a donc les coordonnées de \(E_0\) : \((t^\prime=0,x^\prime=0)\). La TL pour cet évènement donne les relations : \[ \left\lbrace \begin{matrix} 0 &=& -\gamma\beta L + A\\ 0 &=& \gamma L + B \end{matrix} \right. \] soit \(A=\beta\gamma L\) et \(B=-\gamma L\).
En remplaçant \(A\) et \(B\) par leurs expressions, on obtient le système suivant à résoudre : \[ \left\lbrace \begin{matrix} \gamma(ct-\beta x) &=& ct^\prime - \beta\gamma L & (a) \\ \gamma(x-\beta ct) &=& x^\prime + \gamma L & (b) \end{matrix} \right. \]
Résolution du système : \[ \begin{matrix} (a)+\beta(b) &\rightarrow & ct & = & \gamma(ct^\prime+\beta x^\prime)\\ (b)+\beta(a) &\rightarrow & x & = & \gamma(x+\beta ct^\prime)+L \end{matrix} \] où on a utilisé que \(\gamma^2=1/(1-\beta^2)\).
Ces relations correspondent bien à la transformation de Lorentz inhomogène inverse, avec \(t_0=0\) et \(x_0=L\). On vérifie en particulier qu'on retrouve les coordonnées de \(E_0\) dans \(\mathcal{R}\) : \(t=0,x=L\).
Transformation de Lorentz inhomogène : cas longitudinal
Une fusée s'éloigne de la Terre avec une vitesse \(\vec{v}=v\vec{u}_x\) dans le référentiel terrestre \(\mathcal{R}\). On note \(\mathcal{R}^\prime\) le référentiel de la fusée. Les axes \(Ox\) et \(O^\prime x^\prime\) coïncident. Le temps a été fixé de telle sorte qu'à \(t=0\), instant initial terrestre, la fusée était à une distance \(L\) (mesurée dans \(\mathcal{R}\)) de la Terre. On note cet évènement \(E_0\). On fixe l'origine des temps de \(\mathcal{R}^\prime\) de telle sorte que \(t^\prime=0\) pour \(E_0\).
On oublie dans cet exercice les axes \(Oy\), \(Oz\), \(O^\prime y^\prime\) et \(O^\prime z^\prime\).
La transformation de Lorentz inhomogène s'écrit:
\[
\left\lbrace
\begin{matrix}
ct^\prime &=& \gamma(ct-\beta x) + A\\
x^\prime &=& \gamma(x-\beta ct) + B
\end{matrix}
\right.
\]
Déterminer \(A\) et \(B\) en utilisant l'évènement \(E_0\).
L'évènement \(E_0\) a pour coordonnées dans \(\mathcal{R}\) : \((t=0,x=L)\). Quelle est à votre avis la position de la fusée dans le référentiel \(\mathcal{R}^\prime\) ?
Dans \(\mathcal{R}^\prime\), la fusée est toujours à la position \(x^\prime=0\). On a donc les coordonnées de \(E_0\) : \((t^\prime=0,x^\prime=0)\). La TL pour cet évènement donne les relations : \[ \left\lbrace \begin{matrix} 0 &=& -\gamma\beta L + A\\ 0 &=& \gamma L + B \end{matrix} \right. \] soit \(A=\beta\gamma L\) et \(B=-\gamma L\).
Inverser les deux relations obtenues pour exprimer \(ct\) et \(x\) en fonction de \(ct^\prime\) et \(x^\prime\).
Que pensez-vous du résultat ? Pouvait-on le prévoir ?
En remplaçant \(A\) et \(B\) par leurs expressions, on obtient le système suivant à résoudre : \[ \left\lbrace \begin{matrix} \gamma(ct-\beta x) &=& ct^\prime - \beta\gamma L & (a) \\ \gamma(x-\beta ct) &=& x^\prime + \gamma L & (b) \end{matrix} \right. \]
Résolution du système : \[ \begin{matrix} (a)+\beta(b) &\rightarrow & ct & = & \gamma(ct^\prime+\beta x^\prime)\\ (b)+\beta(a) &\rightarrow & x & = & \gamma(x+\beta ct^\prime)+L \end{matrix} \] où on a utilisé que \(\gamma^2=1/(1-\beta^2)\).
Ces relations correspondent bien à la transformation de Lorentz inhomogène inverse, avec \(t_0=0\) et \(x_0=L\). On vérifie en particulier qu'on retrouve les coordonnées de \(E_0\) dans \(\mathcal{R}\) : \(t=0,x=L\).